Jos ääretön otetaan tosissaan

Universumi ja Georg Cantor

Tuntemassamme maailmankaikkeudessa on paljon tähtiä ja vielä paljon enemmän tyhjää avaruutta. On mahdollista, että maailmankaikkeus on paljonkin isompi kuin voimme havaita. Tuntemattomassa osassa maailmankaikkeutta voi olla paljon lisää tähtiä ja vielä paljon enemmän lisää tyhjää avaruutta.

Mitä jos maailmankaikkeus jatkuisi näin, ei vain käsittämättömän ja hirmuisen kauas, vaan äärettömiin?

Oletetaan ajatuskokeena, että maailmankaikkeus jatkuu äärettömiin samanlaisena niin, että kaikkialla on samat luonnonlait samanlaista avaruutta ja samanlaisia tähtiä. Vaikka tässä äärettömässä maailmankaikkeudessa menisi mihin, niin aina vastassa olisi paljon tähtiä ja vielä paljon enemmän tyhjää avaruutta.

Vaikuttaisi ilmiselvältä, että tällaisessa maailmakaikkeudessa kokonaisuudessaan on enemmän tyhjää avaruutta kuin tähtiä.

Vaan kun ei! Äärettömässä maailmankaikkeudessa normaali ”ilmiselvä” logiikka ei päde.

Juttu on sama kuin, että parittomia ja parillisia lukuja yhteensä on ”ilmiselvästi” kaksi kertaa enemmän kuin pelkkiä parillisia lukuja. Niin onkin jatketaan laskemista kuinka isoihin lukuihin asti tahansa. Tilanne kuitenkin muuttuu, jos lukujen jonot oletetaan äärettömän pitkiksi. Silloin jokaiselle parilliselle luvulle on helppo löytää tasan yksi pari joukosta, jossa on sekä parilliset että parittomat luvut, joten yhtä paljonhan niitä kai sitten on…? Paitsi että voihan lukujonot ryhmitellä (äärettömän) monella muullakin tapaa niin, että niiden suhteet näyttävät olevan miten milloinkin. Kumpia nyt sitten on enemmän…?

Ääretön ei ole iso luku, vaan jotain ihan muuta.

Yksi äärettömien ominaisuuksista on, että kokonaisuutta ”ilmiselvästi pienempi” osajoukko voi olla täsmälleen yhtä iso kuin kokonaisuus itse – tai oikeammin, äärettömän joukon ja sen osajoukon kokovertailussa ei ole mitään järkeä. Sopivalla ryhmittelyllä saa halutessaan osajoukon näyttämään ”ilmiselvästi” koko joukkoa vaikka kuinka paljon isommaltakin.

Tämä ei ole hölynpölyä, vaan raudanlujaa matematiikkaa. Vieläpä helposti todistettavaa sellaista. Jonkun piti vain tulla ensin ajatelleeksi äärettömyydet kunnolla läpi. Tämä joku oli Georg Cantor.

Minua on usein häirinnyt kuinka kevyesti monet fyysikot puhuvat äärettömästä pohtimatta kunnolla mitä kaikkea siitä seuraisi.

Palataan äärettömäksi oletettuun maailmankaikkeuteen. Ajatellaan, että ääretön maailmankaikkeus jaetaan tasaisesti kuutioihin, joihin sisään mahtuisi mukavasti yksi tähti. Kuutiot voisi numeroida ja ryhmitellä uudelleen niin, että jokaiselle pelkkää tyhjää avaruutta sisältävälle kuutiolle löytyisi pariksi kuutio, jonka sisälle sattuu tähti. Tällä ryhmittelyllä vaikuttaisi siltä, että tähden sisältävät avaruuden palikat ovat yhtä yleisiä kuin saman kokoiset tyhjän avaruuden palikat.

Äärettömän avaruuden kuutiot voisi ryhmitellä myös esimerkiksi niin, että jokaista tyhjää kuutiota vastaisi triljoona kuutiota, joiden sisällä on tähti. Tällä ryhmittelyllä vaikuttaisi siltä, että tähden sisältävät avaruuden lokerot ovat triljoona kertaa yleisempiä kuin samankokoiset tyhjän avaruuden lokerot.

Mikään vaikutelma tyhjän ja tähtien suhteellisista osuuksista ei olisi totta. Äärettömässä maailmankaikkeudessa tällaiset vertailut eivät tarkoita mitään. Jos sekä tähtien että tyhjän täyttämiä avaruuden osasia on ääretön määrä, kysymys siitä että kumpaa on enemmän ei tarkoita mitään. Molemmat äärettömät ovat yhtä mahtavia.

Ei vain voi sanoa, että äärettömässä maailmankaikkeudessa olisi enemmän tyhjää kuin tähtiä, vaikka kaikkialla maailmankaikkeudessa tilanne olisi juuri tämä (tai voi sanoa, mutta se ei ole totta).

Multiversumi ja Cantor

Jatketaan sitten matkaa maailmankaikkeudesta, universumista multiversumiin, moneen maailmankaikkeuteen. Ajatellaan tässä tilannetta, jossa kaikissa universumeissa on samat luonnonlait ja kaikissa on samalla tavalla tyhjää avaruutta ja tähtiä.

Jos oletetaan, että tällaisessa multiversumissa on ääretön määrä universumeja (eikä vain käsittämättömän ja hirmuisen monta), normaali logiikka asioiden yleisyydessä ja harvinaisuudessa pitää taas unohtaa.

Vaikka jokainen multiversumin universumi olisi samanlainen siinä suhteessa, että jokaisessa universumissa olisi tyhjää avaruutta paljon enemmän kuin tähtiä, silti ei voisi sanoa, että koko multiversumissa on tyhjää sen enempää (tai vähempää) kuin siinä on tähtiä.

Multiversumin universumit voisi taas jakaa kuutioihin, numeroida kuutiot ja ryhmitellä ne uudelleen niin, että jokaiselle tyhjälle kuutiolle löytyy pariksi kuutio, jossa on tähti – tai vaikka triljoona tällaista tähtikuutiota. Kysymys onko tällaisessa multiversumissa enemmän tyhjää kuin tähtiä ei tarkoita mitään (vaikka tyhjää avaruutta on ”ilmiselvästi” enemmän – äärettömästi enemmän).

Älykäs elämä maailmankaikkeudessa ja Cantor

Otetaan seuraavaksi esimerkiksi tähtien sijaan vaikka älykäs elämä. Jos käsittämättömän ja hirmuisen suuressa universumissa (tai multiversumissa) olisi älykästä elämää vaikka joka triljoonannella galaksilla, voisi sanoa että älykäs elämä on harvinaista. Mutta tilanne muuttuisi, jos maailmankaikkeus ei olisi käsittämättömän ja hirmuisen suuri, vaan ääretön. Silloin vertailtaisiin kahta yhtä mahtavaa ääretöntä. Enää ei olisi totta, että galakseja, joissa on älykästä elämää olisi vähemmän kuin niitä, joissa ei ole! Niitä ei olisi myöskään enemmän! Eikä yhtä paljon!

Sellaista se on, jos ääretön otetaan tosissaan eikä ajatella sitä vain isona lukuna.

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Google+ photo

Olet kommentoimassa Google+ -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s

%d bloggers like this: